[:heavy_check_mark:success]{.label .success}

  1. 已知函数$y=y(x)$由方程$x^2+xy+y^3=3$确定，则$y’’(1)=$ [$-\frac{31}{32}$]{.gap}。 {.quiz .fill}

    • 解：当$x=1$时，$1+y+y^3=3$得，$y=1$;
    • 对方程求导得：
    • $2x+y+xy’+3x^2y’=0$;
    • $3+y’(1)+3y’(1)=0$;
    • $y’(1)=-\frac{3}{4}$;
    • 再次求导得：
    • $2+y’+y’+xy’’+6xy’+3x^2y’’=0$;
    • $y’’=-\frac{31}{32}$;
    • [注意$y^3$求导]{.mistake}

  2. 设函数$y=y(x)$由参数方程
    $
    \begin{cases}
    x=2e^t+t+1,\
    y=4(t-1)e^t+t^2,\
    \end{cases}
    $ 则 ${|\frac{d^2f(x)}{dx^2}|}_{t=0}=$ [$\frac{2}{3}$]{.gap}。 {.quiz .fill}

    • 解：$\frac{dy}{dx}=\frac{y’(t)}{x’(t)}=\frac{4e^t+4(t-1)e^t+2t}{2e^t+1}=\frac{2t(2e^t+1)}{2e^t+1}=2t$
    • 则$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{y’(t)}{x’(t)})}{dt}*\frac{1}{x’(t)}=\frac{2}{2e^t+1}$；
    • 当$t=0$时，$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{3}$;
    • [参数方程求导法]{.mistake}

  1. 曲线 $\tan(x+y+\frac{\pi}{4})=e^y$,在点$(0,0)$处的切线方程为[$y=-2x$]{.gap}。 {.quiz .fill}

    • $K_切=\frac{dy}{dx}$;
    • 对方程求导数得：$\sec^2(x+y+\frac{\pi}{4})(1+y’)=e^yy’$
    • 将$(0,0)$点带入得：$2(1+y’(0))=y’(0)$
    • $y’(0)=-2$
    • $K_切=-2$
    • 曲线为：$y=-2x$
    • [$(\tan(x))’=\sec^2(x)$]{.mistake}

  2. 利用导数证明：当 $x>1$ 时，$\frac{\ln(1+x)}{\ln(x)}>\frac{x}{1+x}$ {.quiz .essay}

    • 证：$\ln(1+x)(1+x)>x\ln(1+x)$
    • 令：$f(x)=x\ln(x)$
    • 则：$f’(x)=\ln(x)+1$
    • 当$x>1$时，$f(x)>0$,则$f(x)$在区间$(1,+\infty)$上单调递增
    • 所以：$\ln(1+x)(1+x)>x\ln(1+x)$
    • 即证明：$\frac{\ln(1+x)}{\ln(x)}>\frac{x}{1+x}$；
    • [注意变换形式]{.mistake}

  3. 求不定积分： $\int{\sec^4xdx}=$ [$\frac{1}{3}\tan^3x+\tan{x}+C$]{.gap}。 {.quiz .fill}

    • $\int{\sec^4xdx}$=$\int{\sec^2*\sec^2dx}$=$\int{\sec^2xd\tan{x}}$=$\int{(1+\tan^2x)d\tan{x}}$
    • $=\frac{1}{3}\tan^3x+\tan{x}+C$
    • [$\int{\sec^2xdx}=\tan{x}+C$]{.mistake}
    • [$\sec^2x=1+\tan^2x$]{.mistake}

  1. 求不定积分： $\int{\frac{\arctan{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}(1+x)}dx}=$ [$(\arctan{\sqrt{x}})^2+C$]{.gap}。 {.quiz .fill}

    • 原式$=2\int{\frac{\arctan{\sqrt{x}}}{(1+x)}d\sqrt{x}}=2\int{\frac{\arctan{\sqrt{x}}}{(1+(\sqrt{x})^2)}d\sqrt{x}}$
    • $=2\int{\arctan{\sqrt{x}}d{\arctan{\sqrt{x}}}}$
    • $=(\arctan{\sqrt{x}})^2+C$
    • [$\int{\frac{1}{1+x^2}}dx=\arctan{x}+C$]{.mistake}

  1. 求不定积分： $\int{\frac{2-x}{\sqrt{3+2x-x^2}}}=$ [$\sqrt{3+2x-x^2}+\arcsin{\frac{x-1}{2}}+C$]{.gap}。 {.quiz .fill}

    • 原式$=\int{\frac{(1-x)+1}{\sqrt{3+2x-x^2}}dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{(2-2x)}{\sqrt{3+2x-x^2}}dx}+\int{\frac{dx}{\sqrt{3+2x-x^2}}}$
    • $=\frac{1}{2}\int{\frac{d(3+2x-x^2)}{\sqrt{3+2x-x^2}}}+\int{\frac{d(x-1)}{\sqrt{4-(x-1)^2}}}$
    • $=\sqrt{3+2x-x^2}+\arcsin{\frac{x-1}{2}}+C$
    • [$\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}dx=\arcsin{\frac{x}{a}}+C$]{.mistake}

  1. 计算积分： $\int{\frac{dx}{\sqrt{x(4-x)}}}=$ []{.gap}。 {.quiz .fill}

    • 方法1：原式$=\int{\frac{dx}{\sqrt{4-(x-2)^2}}}=\int{\frac{d(x-2)}{\sqrt{4-(x-2)^2}}}=\arcsin{\frac{x-2}{2}}+C$
    • 方法2：原式$=2\int{\frac{d\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}}}=2\int{\frac{d\sqrt{x}}{\sqrt{4-(\sqrt{x})^2}}}=2\arcsin{\frac{\sqrt{x}}{2}}+C$
    • [$\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}dx=\arcsin{\frac{x}{a}}+C$]{.mistake}

  1. 计算： $\int{\frac{\ln x}{(1+x)^2}dx}=$ [$\int{\frac{\ln x}{1-x}+\frac{\ln{|1-x|}}{\ln{|x|}}+C}$]{.gap}。 {.quiz .fill}

    • 原式$=\int{\ln{x}d{\frac{1}{1-x}}}=\frac{\ln x}{1-x}-\int{\frac{dx}{x(1-x)}}=\frac{\ln x}{1-x}-\int{(\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x})dx}$
    • $=\frac{\ln x}{1-x}+\ln{|1-x|}-\ln{|x|}+C$
    • $=\int{\frac{\ln x}{1-x}+\frac{\ln{|1-x|}}{\ln{|x|}}+C}$
    • [$\int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}+C$]{.mistake}

  2. 计算：$\int{\frac{\ln{sin x}}{sin^2x}dx}=$ [$-\cot{x}*\ln{sin x}-\cot{x}-x+C$]{.gap}。 {.quiz .fill}

    • 原式$=-\int{\ln{sin{x}}d{\cot{x}}}=-\cot{x}*\ln{sin{x}}+\int{\cot{x}d{\ln{sin{x}}}}$
    • $-\cot{x}*\ln{sin{x}}+\int{\cot{x}\frac{\cos{x}}{\sin{x}}dx}$
    • $-\cot{x}*\ln{sin{x}}+\int{\cot^2x}dx$
    • $-\cot{x}*\ln{sin{x}}+\int{(\csc^2x-1)dx}$;
    • $-\cot{x}*\ln{sin{x}}-\cot{x}-x+C$
    • [$\cot{x}=\frac{1}{\tan{x}}$]{.mistake}
    • [$\csc^2x=1+\cot^2x$]{.mistake}
    • [$\int{\csc^2xdx}=-\cot{x}+C$]{.mistake}